我一直都对基金定投宣传当中的摊薄成本效应很感兴趣，经常希望能够定量研究一下基金定投的摊薄成本效应。于是昨天拉上了一个数学学士和准经济学博士，进行了如下研究。

首先解释一下基金定投的摊薄成本效应，造成这个摊薄成本效应的原因是投资人每次都是以固定金额申购基金，在基金价位较低的时候自然买得稍微多一些，价位高的时候买的稍微少一些，这样就摊薄了成本。

我们首先假定证券的价格分布符合正态分布，投资人以两种方式进行投资。第一种，每次以固定金额认购证券；第二种，每次认购固定份额证券。最后比较平均成本。

第二种比较好算，根据大数规则，最后持仓价位也是符合正态分布的，所以均价就是正态分布的平均数。
那么第一种呢？我们原本想找正态分布的倒数分布，结果发现维基百科上写了这个分布是没有平均数的。（数学真坑爹）

所以我们先把正态分布抛开一边，算了一下密度函数是余弦函数的情况，结果第一种投资只好一点点。但毕竟这个方差太小，没什么计算的价值。
在算余弦的时候，我们突然意识到可以用倒数定积分来得到正态分布下面一个近似的结果 ，于是测算了µ = 100，σ = 20 在 3倍标准差内的定积分，发现比方案二的成本只低3%，如果 σ = 30 的话就低10%。

当然参数不是任由我们随便定啊，要是随便定我们不就是经济学家了嘛！
所以我们决定用真实的市场数据，比如上证综合指数。可是上证指数的密度函数哪里来？
我们突然发现，这个问题不就是算数平均数（方案二）和调和平均数（方案一）的比较问题嘛！
于是去数据库下载到了上证收盘价格，从1991年7月15日至2013年5月31日的收盘价格，算数平均数为1705，调和平均数为1133.8，整整少了33.5%！但是，必须注意到，上海证券交易所的股票从1991年到现在，成分已经发生了翻天覆地的变化，而且当时也没有股指基金。因此上证指数只能作为一种数值波动的模拟，并不代表可以进行实际的连续投资。
所以我也计算了一下上证380指数的结果，可是上证380的数据开始于2010年11月29日， 算数平均数3482.7，调和平均数3400.9，调和平均数仅小2.3%

因此，如果你不是进行长达10年20年的投资，基金定投的摊薄成本效应实在是可以忽略不计的。

（我们也下载了嘉实300基金的净值数据，但是中间的分红使得计算变得非常复杂。）